Universitas Kristen Immanuel (UKRIM)
Fakultas Sains dan Komputer => Teknik Informatika => Topik dimulai oleh: Roni pada Desember 09, 2018, 12:20:23 PM
-
\section{Relasi Ekuivalen antar-Objek-Geometris}
Relasi ekuivalen $\sim$ pada himpunan $A$ memiliki sifat refleksif ($a \sim a$ untuk semua $a\in A$.), simetris (Jika $a \sim b$, maka $b \sim a$, untuk semua $a,b\in A$.), dan transitif (Jika $a \sim b$ dan $b \sim c$, maka $a \sim c$ untuk semua $a,b,c\in A$.). Relasi ekuivalen bijektivitas $\sim$ didefinisikan sedemikian rupa sehingga apabila $A$ dan $B$ adalah dua buah himpunan, maka $A \sim B$ (dibaca "$A$ bijektif dengan $B$.") apabila terdapat pemetaan bijektif antara $A$ dan $B$.
Kardinalitas himpunan $A$, yang ditulis sebagai $|A|$, merupakan banyaknya anggota himpunan $A$. Apabila $A \sim B$, maka tentu saja $|A| = |B|$. Karena $\mathbb{N}$ adalah himpunan bilangan asli, maka diperjanjikan $|\mathbb{N}| = \aleph_0$. Karena $\mathbb{R}$ adalah himpunan bilangan riil, maka diperjanjikan $|\mathbb{R}| = \aleph_1$. Ternyata, $2^{\aleph_0} = \aleph_1$. Tentu saja, $|A\times B| = |A||B|$. Apabila himpunan $2^A$ didefinisikan sebagai himpunan yang beranggotakan semua himpunan bagian dari himpunan $A$, maka tentu saja $|2^A| = 2^{|A|}$. Ternyata, $n(\aleph_1)^m + (n - 1)(\aleph_1)^{m - 1} = (\aleph_1)^m$ untuk semua $m,n\in\mathbb{N}$.
Apabila didefinisikan $S^n := \{(x_0,\cdots,x_n) ~|~ \sum_{j=0}^n (x_j)^2 = 1\}$ dan $D^n := \{(x_1,\cdots,x_n) ~|~ \sum_{j=1}^n (x_j)^2 \leq 1\}$, maka ternyata $|D^2| = (\aleph_1)^2 + \aleph_1 + 1$ $= (2(\aleph_1)^2 + \aleph_1) + (2\aleph_1 + 1) + 1$ $= 2(\aleph_1)^2 + (3\aleph_1 + 2)$ $= 2(\aleph_1)^2 + \aleph_1$ $= (\aleph_1)^2$ $= |\mathbb{R}^2|$ yang berarti $D^2 \sim \mathbb{R}^2$.
Apabila didefinisikan $T^n := (S^1)^n$, maka ternyata $|T^2| = (\aleph_1 + 1)^2$ $= (\aleph_1)^2 + 2\aleph_1 + 1$ $= (\aleph_1)^2 + \aleph_1$ $= \aleph_1(\aleph_1 + 1) = |\mathbb{R}\times S^1|$ yang berarti $T^2 \sim \mathbb{R}\times S^1$.