Messages

1

Fisika / Model Bumi Datar sebagai Proyeksi Stereografis dari Model Bumi Bulat Berotasi

« pada: November 28, 2018, 08:22:45 AM »

Misalkan dalam sistem koordinat Cartesian, pusat bumi bulat berotasi ada di titik $(0, 0, 0)\in\mathbb{R}^3$, serta posisi suatu titik $P$ adalah $(x, y, z)\in\mathbb{R}^3$, maka posisi $P$ dalam kerangka acuan bumi bulat yang berotasi dengan frekuensi sudut $\omega\in\mathbb{R}$ adalah $(x', y', z')\in\mathbb{R}^3$ pada waktu $t\in\mathbb{R}$ sedemikian rupa sehingga

\[ x' = x\cos\omega t + y\sin\omega t, ~~~~~ y' = -x\sin\omega t + y\cos\omega t, ~~~~~ z' = z. \]

Apabila dalam kerangka acuan bumi bulat yang berotasi, posisi $P$ dalam koordinat polar bola adalah $(r, \theta, \phi)$, maka

\[ r = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2}, ~~~~~ \theta = \arctan_2(z', \sqrt{x'^2 + y'^2}), ~~~~~ \phi = \arctan_2(x', y'). \]

Dengan menggunakan proyeksi stereografis terhingga, posisi $P$ menurut model bumi datar adalah $(X, Y, Z)\in\mathbb{R}^3$ sedemikian rupa sehingga

\[ X = \mathcal{R}\tanh(\tan(\theta/2))\cos\phi, ~~~~~ Y = \mathcal{R}\tanh(\tan(\theta/2))\sin\phi, ~~~~~ Z = Z_0\ln(r/R) \]

di mana $\mathcal{R}\in\mathbb{R}^+$ adalah jari-jari bumi datar, $Z_0\in\mathbb{R}^+$ adalah tetapan kesebandingan yang berdimensi panjang, dan $R\in\mathbb{R}^+$ adalah jari-jari bumi bulat.

Pemetaan $(x, y, z) \mapsto (X, Y, Z)$ merupakan transformasi koordinat bumi bulat berotasi ke koordinat bumi datar.